【推荐2】如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点．

(1)求出该二次函数的解析式．
(2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N．
①当时，求点P的横坐标．
②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围．
(3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值．

【推荐1】在中，，D为射线上一点，，E为射线上一点，且，连接．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若，连接并延长，交于点F，求证：；
(3)如图3，若，垂足为点E，猜想、、的数量关系，并证明．

【推荐2】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

【推荐3】如图1和2，在正方形中，点、在经过点的直线上，为等腰直角三角形，，且点始终在的内部，连结．

（1）当直线绕点旋转到如图1所示的位置时，求证：①；②；③；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，探究：（1）中的①、②、③三个结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出正确的结论（不必证明）；
（3）在直线绕点旋转过程中，若正方形的边长为，，求的长．

【推荐1】如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．

   

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．设点的横坐标为点，请用含的代数式表示矩形的周长，并求矩形周长的最大值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，直线y=x－2与x轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数y=x²+bx+c的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点 D 的横坐标为 m．过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，求线段 DM 关于 m 的函数关系式，并求线段 DM 的最大值；
   

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中，是OA的中点．

(1)求该二次函数的解析式．
(2)如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时的最小值．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线，M为抛物线上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，二次函数的图像与x轴交于点、点B，交y轴于点．点D是第三象限内抛物线上一点，连接与交于点E．
   
(1)求该二次函数的表达式；
(2)设的面积为，的面积为，求的最大值．

【推荐2】如图，二次函数y=x²﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．
（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）点P（m，n）在二次函数y=x²﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．
①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；
②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x²﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x²﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段　NQ的长度等于　 　．

【推荐3】如图，已知抛物线过点，．

（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）抛物线与交于点，在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标以及这个最大值；
（3）设点是轴上一点，当时，求点的坐标．