【推荐1】如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．

(1)求证：．
(2)当F为的中点时，求证：．

【推荐2】如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，且，于点，连接交于点．求证：．
   

【推荐3】如图，是圆的直径，是一条弦，是弧的中点．过点做于点，交于点，延长交圆于点，交于点．

(1)求证：．
(2)若，，求圆的半径．

【推荐1】如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在 BC 边上的点F处，折痕为AE．若BC=5cm，AB=3cm，求EF的长．

【推荐2】如图，中，，，．将沿折叠，使点恰好落在斜边的处．

(1)求的长：
(2)求的长．

【推荐3】探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）

【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值．

【推荐1】如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的处，折痕的一端点在边上．

(1)如图1，当折痕的另一端在边上，且时，则____________；
(2)如图2，当折痕的另一端在边上，点与点重合时，若，求的长度．
(3)若，当折痕的另一端在边上，点未落在边上，且点到的距离为时，直接写出的长度为________________________．

【推荐2】如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边落在对角线上，点落在点处，折痕为，且，求线段的长．

【推荐3】【实践操作】
在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边上（如图①所示），当点P与点A重合时，；当E与点A重合时，；
​【初步思考】
当点E在上，点F在上时（如图②所示），求证：四边形为菱形；
【深入探究】
当点P落在矩形的内部（如图③所示），且点E、F分别在边上时，则的最小值为             ；
【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在上，线段与线段交于点M，，则线段的长为             ．