【推荐1】如图，已知抛物线过点，，点M、N为抛物线上的动点，过点M作轴，交直线于点D，交x轴于点E．过点N作轴，垂足为点F

(1)求二次函数的表达式；
(2)若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形为正方形，求该正方形的面积；

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的顶点的坐标为与轴交点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线对称轴右侧抛物线上一点，连接，，，若设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，如图，对称轴交于点，轴交延长线于点，垂足为，连接交轴于点，在的延长线上取点，连接使，若，求点的坐标．

【推荐3】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果如果有根号均保留根号）

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴，轴于点A，和点，抛物线与抛物线关于直线对称，两条抛物线的交点为，（点在点的左侧）．

(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿轴正方向平移，使点与点重合，求平移的距离；
(3)在（2）的条件下：规定抛物线和抛物线在直线下方的图象所组成的图象为，点，和，在函数上（点在点的右侧），在（2）的条件下，若，且，求点坐标．

【推荐2】已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知实数，请证明：，并说明为何值时才会有．
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，，.请你用含有的表达式表示出的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则两点间的距离）

【推荐3】已知抛物线，点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)抛物线上任意一点．连接PF，并延长交抛物线于点，试判断是否成立？请说明理由；
(3)将抛物线作适当的平移，得抛物线：，若时，恒成立，求m的最大值．

【推荐1】函数y＝（m为常数）．
(1)若点（﹣2，1）在函数y上，求m的值．
(2)当点（m，﹣2）在函数y上时，求m的值．
(3)若m＝1，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
(4)已知正方形ABCD的中心为原点O，点A的坐标为（1，1），当函数y与正方形ABCD有3个交点时，直接写出实数m的取值范围．

【推荐2】如图1，抛物线的顶点坐标为，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，若将抛物线中在轴下方的图象沿x轴翻折到轴上方，轴上方的图象保持不变，就得到了函数，是图象上的任意一点，直线是经过且平行于轴的直线，过点作直线的垂线，垂足为，猜想并探究：与的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知抛物线，点．

(1)若此抛物线经过点A时，求a的值；
(2)求此抛物线顶点坐标（用含a的代数式表示）；
(3)已知，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线，过点，且对称轴为直线．
   
(1)求的值；
(2)在轴上有一动点，过点作垂直轴的直线交抛物线于点，其中．
①当时，结合函数图象，求出的值；
②把直线上方的函数图象，沿直线向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，新图象在时，满足，求的取值范围．

【推荐3】如图1，抛物线C₁：y=ax²﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C₁的顶点为G．

（1）求出抛物线C₁的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C₁向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C₂，设C₂与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C₁、C₂于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．