【推荐1】阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
下面是运用“补短法”证明的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．

【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长．

【推荐2】（1）如图1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，证明AD=CE，AE=BD即可）
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明DEF是等边三角形．

【推荐3】如图，在正方形中，，两点分别在，边上，且，连接，．
   
(1)求证：；
(2)点在上，连接分别交，于，两点，．
①求证：；
②判断，，的数量关系？并说明理由．

【推荐1】如图，四边形内接于以为直径的圆，圆心为，且，延长、交于，连接．

(1)求证：；
(2)过点作的垂线交的延长线于，且．
①求线段的值；
②若，求的长．

【推荐3】已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．

(1)如图1，若∠COA＝60°，∠CDO＝75°，求∠ACD的度数．
(2)如图2，点E在线段OD上（不与O，D重合），CD、CE的延长线分别交⊙O于点F、G，连接BF，BG，点P是CO的延长线与BF的交点，若CD＝2，BG＝4，∠OCD＝∠OBG，∠CFP＝∠CPF，求CG²＋CF²的长．

【推荐1】如图，是线段上一动点，分别以、为边作等边．等边，连接、分别交、于、两点．

(1)求证：；
(2)判断直线与的位置关系；
(3)若，当点在上运动时，是否存在一个位置使的长最大？若存在请求出此时的长以及的长．若不存在请说明理由．

【推荐2】如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax²+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；
（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．

【推荐3】如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数（k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．

(1)k=      ；
(2)判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；
(3)如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF=，点P是反比例函数（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（      ，      ）．

【推荐1】将两块全等的三角板如图①摆放，其中，．

（1）将图①中的顺时针旋转后得到图②，点是与的交点，点是与的交点．若，请判断的形状，并说明理由；
（2）将图①中的顺时针旋转45°得图③，点是与的交点，点是与的交点，求证：；
（3）在（2）的条件下，如图④，在上取一点，连接、，设，当时，求的面积．

【推荐2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，点是的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中按要求作图．

(1)在图①上找一点，使得；
(2)在图②上找一点使得；
(3)在图③上找一点使得．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为，△BCE的面积为，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．