【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．

(1)依题意补全图形；
(2)若∠CAE＝，求∠CBD的大小（用含的式子表示）；
(3)若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP， 用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】如图，在中，∠A＝60°，，垂足为F，点D、E分别为BC、AC上的点，连接BE，交CF于点M，连接DE、DF、EF．

(1)如图①，当BE⊥AC时：
①若CM＝4，FM＝2，求BE的长；．
②若AB＝AC，D为EC边上的中点，求证：△DEF时是等边三角形；．
(2)如图②，若AB≠AC，DB＝DF，DC＝DE，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．

【推荐3】已知是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转60°得到，连接．

(1)如图1，猜想是什么三角形？　　；（直接写出结果）
(2)如图2，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当为何值时，，请说明理由．

【推荐1】如图，为等腰的底的中点，过作∥，连结；，，，动点自点出发，在上匀速运动，动点自点出发，在折线上匀速运动，速度均为，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点运动时，的面积为（不能构成的动点除外）
（1）点在上运动时，求的取值范围；
（2）当点在上运动时，求为何值时，是等腰三角形；
（3）求与之间的函数关系式；当为何值时，有最大值？最大值是多少？

【推荐2】已知，如图，在正方形中，点P在射线上，连接，，M、N分别为、中点，连接交于点Q．

(1)如图1，当点P与点D重合时，直接写出的度数；
(2)当点P在线段的延长线上时，
①依题意补全图2；
②在点P运动过程中，请你对线段与的数量关系进行猜想，并说明理由．
(3)若过点B作直线的垂线交其于点H，连接，若，请直接写出线段长度的最大值．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，作△EDF≌△ADB．
　　 　
(1)如图1，当点E落在BC边上时，求BE的长．
(2)如图2，当点E落在线段BF上时，DE与BC交于点G，求BG的长．
(3)记K为BD的中点，S为△KEF的面积，求S的取值范围．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是圆上一动点，且与点C分别位于直径AB的两侧，，过点C作交PB的延长线于点Q；

(1)当点P运动到什么位置时，CQ恰好是⊙O的切线？
(2)若点P与点C关于直径AB对称，且AB=5，求此时CQ的长．

【推荐2】（1）阅读理解
我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系．如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN交 x轴和y轴于M、N，点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标．
如图2，ω=30°，直角三角形的顶点A在坐标原点O，点B、C分别在x轴和y轴上，AB=，则点B、C在此斜坐标系内的坐标分别为B            ，C         ．
（2）尝试应用
如图3，ω=45°，O为坐标原点，边长为1的正方形OABC一边OA在x轴上，设点G（x，y）在经过A、C两点的直线上，求y与x之间满足的关系式．

（3）深入探究
如图4，ω=60°，O为坐标原点，M（2，2），圆M的半径为．有一个内角为60°的菱形，菱形的一边在x轴上，另有两边所在直线恰好与圆M相切，求此菱形的边长．