如图1：在
中，
，（要求：点
在
上，点
在
上；
(2)直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点，分别是，边的中点，不妨设点
，点
，
．请你利用该数学学习小组的思路证明
且
．（提示：中点坐标公式，
，
，
，
，则
，
中点坐标为
，
(3)如图3：在
中，
，
，
，延长至点，
，连接
并延长边于点
，若
，则
是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．
中，
，（要求：点在上，点在上；(2)直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点
，分别是，边的中点，不妨设点，点，．请你利用该数学学习小组的思路证明且．（提示：中点坐标公式，，，，，则，中点坐标为，(3)如图3：在
中，，，，延长至点，，连接并延长边于点，若，则是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．
更新时间：2024-04-22 13:10:54
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，直线
（
为常数）．
(1)当
时，直线
与坐标轴围成的三角形的面积为______．
(2)当
时，求图象的最高点与最低点的纵坐标的差；
(3)点的坐标为
，点的坐标为
，以为对角线作矩形
，使矩形的边与坐标轴垂直，并且点
在
轴上．
①直线与矩形的对角线互相平行或垂直时，求的值；
②直接写出直线与矩形的边
共有两个交点时的取值范围．
（为常数）． (1)当
时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为______．(2)当
时，求图象的最高点与最低点的纵坐标的差；(3)点
的坐标为，点的坐标为，以为对角线作矩形，使矩形的边与坐标轴垂直，并且点在轴上．①直线
与矩形的对角线互相平行或垂直时，求的值；②直接写出直线
与矩形的边共有两个交点时的取值范围．
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中有一点
；将点A向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程
的解．
(1)直接写出点B，C，D的坐标；
(2)求三角形AOB的面积；
(3)如图2，将D点向左平移个单位
到E，连接CE，DG平分
交CE于点G，已知点F为x轴正半轴上一动点（不与C点重合），射线EF交直线AB交于点M，交直线DG于点N，试探究F点在运动过程中
、
、
之间是否有某种确定的数量关系，若存在，请写出对应关系式并证明；若不存在，请说明理由．
；将点A向左平移3个单位，再向下平移6个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，通过研究发现直线上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解．(1)直接写出点B，C，D的坐标；
(2)求三角形AOB的面积；
(3)如图2，将D点向左平移
个单位到E，连接CE，DG平分交CE于点G，已知点F为x轴正半轴上一动点（不与C点重合），射线EF交直线AB交于点M，交直线DG于点N，试探究F点在运动过程中、、之间是否有某种确定的数量关系，若存在，请写出对应关系式并证明；若不存在，请说明理由．
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【推荐1】对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作
．已知点
，
，连接AB．
(1)d（点O，AB）＝ ；
(2)⊙O半径为r，若
，直接写出r的取值范围；
(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转
，得到点
．
①当
时
，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使，直接写出r的范围．
．已知点，，连接AB．(1)d（点O，AB）＝ ；
(2)⊙O半径为r，若
，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转
，得到点．①当
时，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使
，直接写出r的范围．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，在等腰直角三角形
和
中，点
为它们的直角顶点,当
与有重叠部分时：
（1）①连接
，如图1，求证：
；
②连接
，如图2，求证：
；
（2）当与无重叠部分时：连接,如图3，当
，
时，计算四边形
面积的最大值，并说明理由.
和中，点为它们的直角顶点,当与有重叠部分时：（1）①连接
，如图1，求证：；②连接
，如图2，求证：；（2）当
与无重叠部分时：连接,如图3，当，时，计算四边形面积的最大值，并说明理由.
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．
，
之间的数量关系．小明发现，过点
于点
是直线
上一点，以
为边，在
，连接
，直接写出
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较难
(0.4)
【推荐1】【感知探究】
如图①，已知
，点M在上，点N在
上，求证：
如图②，
的数量关系为（不需要证明）
如图③，已知
，
，则
如图④，已知，
分别平分
和
，探究
之间的关系，并说明理由
如图①，已知
，点M在上，点N在上，求证：
如图②，
的数量关系为（不需要证明）
如图③，已知
，，则
如图④，已知
，分别平分和，探究之间的关系，并说明理由
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(0.4)
【推荐2】如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）．
（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）．
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较难
(0.4)
【推荐3】感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：
．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含
角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且
和直角三角形
，
，
，
．创新小组的同学发现
，说明理由．
实践探究：
（3）如图3，，在射线
是
的平分线，在
的延长线上取点N，连接
，若
，
，求
的度数．
时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含
角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．实践探究：
（3）如图3，
，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知，如图1，在
中，对角线
，
，
，如图2，点从点出发，沿
方向匀速运动，速度为
，过点作
交于点
；将沿对角线剪开，
从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为
，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为
，解答下列问题：
（1）当
为何值时，点在线段
的垂直平分线上？
（2）设四边形
的面积为
，试确定
与的函数关系式；
（3）当为何值时，有最大值？
（4）连接
，试求当
平分
时，四边形
与四边形
面积之比．
中，对角线，，，如图2，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作交于点；将沿对角线剪开，从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题：（1）当
为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）设四边形
的面积为，试确定与的函数关系式；（3）当
为何值时，有最大值？（4）连接
，试求当平分时，四边形与四边形面积之比．
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解答题-作图题
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(0.4)
【推荐2】直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．
(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；
(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．
(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；
(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．
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与
轴交于点
，与
，对称轴与
的最小值；
在
为等腰三角形，求出点
