【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1cm，各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出关于y轴对称的；
（2）画出关于x轴对称的；
（3）若点P为y轴上一动点，则的最小值为______．

【推荐2】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

(1)如图（1），当点P在边AC上时，AP=______，当点P在边AB上时，AP=_______．（用t表示）
(2)如图（1），当t为何值时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半；
(3)如图（2），在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．

【推荐3】【感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，E为的中点，求的长．
【应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．

   

【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（4，0），一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A、点B.
⑴ 若点D是直线AB在第一象限内的点，且BD＝BC，试求出点D的坐标.
⑵ 在⑴的条件下，若点Q是坐标轴上的一个动点，试探索在第一象限是否存在另一个点P，使得以B、D、P、Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接．

(1)依题意补全图形，并证明；
(2)用等式表示之间的数量关系，并证明．

【推荐3】在边长为1的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
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(1)如图1，当点M在AB边上时，连接BN.求证：；
(2)如图2，若，记点M运动所经过的路程为试问：x为何值时，为等腰三角形．

【推荐1】已知；如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，．
   
(1)求的长．
(2)以为邻边作菱形，求菱形的面积．

【推荐2】如图，四边形为菱形，于点，E是上一点，且，连接.
   
(1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)连接与交于点，若，，求菱形的面积.

【推荐3】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点A固定在格点上．

（1）若m是图中能用网格线段表示的最大无理数，则m=__________．
（2）请你画出顶点在格点上边长为的所有菱形（包含正方形），你画出的菱形面积为__________．