【推荐1】【思维启迪】
（1）如图1，点P是线段，的中点，则与的数量关系为_______，位置关系为________；
【思维探索】
（2）如图2，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
★小明思考良久后，根据这一条件，给出了如图4的辅助线：延长到T，使得，连接，，请你根据小明给出的辅助线，继续猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请求出的长．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知△，点在y轴的正半轴上，点在x轴的负半轴上，点在x轴上．
(1)如图1，已知点与点关于y轴对称，，若是的中点，连接，求证：△是等边三角形

(2)如图2，已知，△是一个轴对称图形，，分别是边，上一点，满足，连接，，，若点的坐标为（，1）．

①求点的坐标；
②求三角形的面积；
(3)如图3，已知与坐标原点重合，，点是y轴的负半轴上一动点，连接，过作于，交线段于，连接．

①若线段，求点的坐标；
②问点在运动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．

【推荐3】模型的发现：
如图

(1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系；
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明；
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知．
对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”．
(1)当时，
①在点中，线段的“等直点”是______；
②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标．
(2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围．

【推荐2】已知，四边形ABCD中，∠ABD＝∠BCD，AB∥CD．
（1）如图1，求证：BC＝BD；
（2）如图2，若AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为边CD上一点，过点E作EF⊥BE交AD于点F，点G为CF中点，连接BF，EG，当∠CBD＝90°，且AD＝4时，若EG＝1，求线段CF的长．

【推荐3】如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．

（1）点P的运动路径是一个圆；
（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．

【推荐1】已知：矩形，点E是上一点，将矩形沿折叠，点A恰好落在上点F处．

(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，若点F恰好是的中点，点M是上一点，过点M作交于点N，连接，若平分，
①求的值．
②求证：．

【推荐2】将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．

(1)如图1，当时，直接写出　 　度和点的坐标( 　 　，　 　)；
(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，求出的长用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
(3)若折叠后的重合部分的面积为，则的值可以是 　 　(请直接写出两个不同的值即可)．

【推荐3】将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，．
（1）求GC的长；
（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．