【推荐1】如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．

(1)求证：．
(2)如图2，点关于直线的对称点为，连接，．

①求证：；

②当，，三点共线时，的度数为

【推荐2】已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

   

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

【推荐3】
(1)如图，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则______．
(2)如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．
①求的度数；
②连接交于点，求的值．

   

【推荐1】如图，C为线段上一点，分别以、为边在的同侧作等边与等边，连接．

(1)如图1，当时，直接写出与的数量关系为___________；
(2)在（1）的条件下，点C关于直线的对称点为E，连接、，求证：平分；
(3)现将图1中绕点C顺时针旋转一定角度，如图2，点C关于直线的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．

【推荐2】如图，AB是半圆O的直径，C．E在半圆O上，CD⊥AB于点D，且CD＝．
（1）如图1．若点C是的中点，求AE的长；
（2）如图2，若∠B＝30°，连接CE，点P为CE中点，连接DP，交AE于点F，记以C为圆心，CP为半径的圆为⊙C．探究AE与⊙C的位置关系，并说明理由．

【推荐1】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角顶点在BC边上，BP＝1．

①特殊情形：若MP过点A，NP过点D，则＝　 　．
②类比探究：如图2，将∠MPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E，PN交AD边于点F，当点E与点B重合时，停止旋转．在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半径为1，点E是⊙A上一动点，CF⊥CE交AD于点F．请直接写出当△AEB为直角三角形时的值．

【推荐2】含30°角的直角三角板中，．将其绕直角顶点C顺时针旋转角()，得到，边与边交于点D，过点 D作交边于点E，连接．

(1)如图1，当边经过点B时，求的度数；
(2)小明发现在三角板旋转的过程中，度数是定值，他在探究过程中需证明：．
①如图2是旋转过程的一个位置，试完成相似的证明
②然后直接写出三角板旋转的过程中度数的范围；
(3)设的面积为S，当 时，求的长，以点为圆心，为半径作，并判断此时直线与的位置关系．

【推荐1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AC向终点C运动．过P作PE⊥AB交AB于点E，作PF⊥AD交AD于点F，设四边形AEPF与△ABD的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t．

（1）用含t的代数式表示线段BE的长；
（2）当点P与点O重合时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式；
（4）在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，设点Q关于AC的对称点是Q'，直接写出PQ'与菱形ABCD的边垂直时t的值．

【推荐2】如图1，已知以AE为直径的半圆圆心为O，半径为5，矩形ABCD的顶点B在直径AE上，顶点C 在半圆上，AB=8，点P为半圆上一点（不与A、E两点重合）．
（1）矩形ABCD的边BC的长为多少；
（2）将矩形沿直线AP折叠，点B落在点B′．
①点B′到直线AE的最大距离是多少；
②当点P与点C重合时，如图2所示，AB′交DC于点M．
求证：四边形AOCM是菱形，并通过证明判断CB′与半圆的位置关系；
③当EB′∥BD时，直接写出EB′的长为多少．

【推荐3】已知，在平面直角坐标系内有四边形，点A与点C分别在y轴与x轴上，其中，且点B坐标为，y轴上有一点D，将沿折叠，点A的对应点E在x轴上．

(1)如图1，求线段的长度和点D的坐标；
(2)将四边形沿x轴向右平移，得到四边形形，点A，O，E，B的对应点分别为．当点到达点C时停止平移．设，四边形与重叠部分的面积为S．
①如图2，当四边形与重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，直接写出S的取值范围．