【推荐1】（1）如图1，在锐角中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，．求证：．

（2）如图2，在中，，D为上一点，连接，作，，连接，若，求四边形的面积．
（3）如图3，在四边形中，已知，求线段的长．

【推荐3】阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B'处．于是，由∠ACB＞∠B'，∠ABC=∠B'，可得∠ACB＞∠ABC．
（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．
（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：
如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM＋AN＞2BD．

【推荐1】已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．
   　　   　　   
(1)如图，当点在上时，求证：；
(2)如图，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；
(3)如图，若，，分别交于点，，求证：

【推荐2】如图，已知：抛物线交x轴于A、C两点，交y轴于B．且．

(1)求点A、B、C的坐标及二次函数解析式；
(2)在直线AB上方的抛物线上有动点E．作EG⊥x轴交x轴于点G，交AB于点D，作EF⊥AB于点F．若点D的横坐标为m求线段EF的最大值．

(3)抛物线对称轴上是否存在点P使得△ABP为以AB为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，在中，，，D是线段上的动点（不与点A，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，.过点作交的延长线于点．

(1)若，，求的大小；
(2)求证：；
(3)如图2，当B，E，D三点共线时，若，，求的长．

【推荐1】如图，是的外接圆，为直径，

(1)尺规作图：在直径下方的半圆上找点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，连接，，．已知，，
①求四边形的面积；
②求O到弦的距离．

【推荐1】如图在矩形ABCD中，AB＝8，过对角线AC的中点O作直线PE，交AB于点P，交CD于点Q，交射线AD于点E，连接CE，作点Q关于CE对称的对称点Q′，以Q′为圆心，为CQ′半径作⊙Q′，交CE于点M，设BC＝x．
（1）请说明△AOP≌△COQ的理由．
（2）若AP＝5，
①请用x的代数式表示DE的长．
②当△DQM为直角三角形时，请求出所有满足条件的BC的值．
（3）若存在⊙Q′同时与直线AC和直线AD相切，请直接写出⊙Q′的半径．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线AC上（点O不与点A重合），过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径画半圆O，分别交射线AC于E，F两点，设OD=x．

(1)如图1，当点O为AC边的中点时，则x=           ；
(2)如图2，当点O与点C重合时，连接DF，求弦DF的长；
(3)若半圆O与BC无交点，则x的取值范围是           ．

【推荐3】如图，内接于半圆，是直径，过作直线，，是弧的中点，连接交于，过作于，交于．

（）求证：是半圆的切线．
（）作交的延长线于点，连接，试判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
（）若，，试求的长．