【推荐1】如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上.
   
(1)尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)填空：在（1）的条件下，若，试说明.
证明：∵，，
∴ ① ， ② ，
∵，
∴ ③ ，
又∵平分，
∴2 ④ ，
∴ ⑤ ，
在和中，，
∴，
∴.

【推荐2】如图，点，分别是矩形的边，上的一点，将矩形沿直线对折后，点与点重合，连接和．求证：四边形为菱形．
   

【推荐3】已知：如图，，，、相交于点．求证：．

【推荐1】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF．

(1)求证：AF＝BD；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由．

【推荐2】如图，在中，G、H分别是、的中点，E、O、F是的四等分点，顺次连接G、E、H、F．

(1)求证：；
(2)已知，，求证：四边形是正方形．

【推荐3】已知，如图，在▱中，过中点的直线分别交、的延长线于点、，连接、，求证：四边形为平行四边形．

【推荐1】如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：

(1)_________；
(2)当_________秒时，四边形成为矩形．
(3)当t为多少时，?

【推荐2】综合与实践
背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质．所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关键．
实践操作：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
问题解决：（1）①当α＝0°时，＝　 　；②当α＝180°时，＝　 　．
（2）试判断：当0°≤a＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
问题再探：（3）当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求得线段BD的长为　 　．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4．AD＝12时，求AQ的长．