【推荐1】已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．
   
(1)如图1，求证：；
(2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点．
①探究和的关系，并说明理由；
②连接，求证：F，C，M三点共线．

【推荐3】探究题

(1)知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
(2)知识迁移
我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用
①如图3所示的△ABC（其中均小于），，现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；
②如图4，若三个村庄构成Rt△ABC，其中．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果）

【推荐1】如图①，在中，，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）
   
(1)当点和点重合时，线段的长为______；
(2)当点和点重合时，求．
(3)如图②，当点在边上运动时，证明：．
(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的值．

【推荐2】已知等边△ABC，D是BC上一点，E是平面上一点，且DE＝AD，∠ADE＝60°，连接CE．
（1）当点D是线段BC的中点时，如图1．判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）当点D是线段BC上任意一点时，如图2．请找出线段AB，CE，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，若△ABC边长为6，设CD＝x，则线段CE＝　 　（用含x的代数式表示）．
   

【推荐2】如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点P．

(1)若点B与点F重合
①如图2，若，当点P落在中垂线上时，求的长；
②当点P可以两次落在中垂线上时，求a取值范围；

(2)如图3，连接，若，直线交的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、．

(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标；
(3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式．

【推荐2】如图，点P是直线上的点．过点P的另一条直线交抛物线于A，B两点．
   
(1)若直线的解析式为，求，两点的坐标；
(2)①若点P的坐标为，当时，请直接写出点A的坐标；
②试证明，如图②，对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立；
(3)设直线l交y轴于点C，如图③，若的外心在边上，且，求点P的坐标．

【推荐3】正方形，点为平面内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，已知点为的中点，连接．
   
(1)如图1，①若点为边边上一点，补全图形；
②判断线段和的数量关系，结论为________；
(2)如图2，若点是的内部一点，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
(3)正方形中，已知，若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，线段的最大值为：_________．