【推荐1】在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像与轴交于点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点是抛物线上位于第一象限的一点，问是否存在这样的点，使得点到的距离最大？若存在，请求出此时点的坐标．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，连接、．

(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线翻折，得到，点B的对应点为D，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．

【推荐3】如图1，抛物线与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点，已知点C坐标为，面积为6．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交AC于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．

【推荐1】如图在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是边BC上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是1cm/s，设点P的运动时间为t，过P点作AC的平行线交AB与点N，连接AP，
（1）请用含有t的代数式表示线段AN和线段PN的长，
（2）当t为何值时，△APN的面积等于△ACP面积的三分之一？
（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得△APN的面积有最大值，若存在请求出t的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，连接，．

(1)用含a的代数式求；
(2)若，求抛物线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，当时，y的最大值是2，求m的值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式．
(2)求△ABE面积的最大值．
(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．
（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点　 　是P（1，﹣1）的“k值关联点”；
（2）若点C （8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；
（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m²+mn，2n²）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x₁﹣x₂|，|x₂﹣x₃|，|x₃﹣x₁|中的最大值，称为△ABC的横长，记作D_x；将|y₁﹣y₂|，|y₂﹣y₃|，|y₃﹣y₁|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作D_y；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=．
例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则D_x=|2﹣（﹣1）|=3，D_y=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==．

（1）如图2，点A（1，0），
①点B（2，1），E（﹣1，2），则△AOB的纵横比λ₁=　 　；△AOE的纵横比λ₂=　 　；
②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；
③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；
（2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围．

【推荐3】如果函数y＝k是反比例函数，求函数的解析式．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐3】如图①，在平面直角坐标系中，的顶点在抛物线上，，.
   
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴交于点，当时，求出运动时间的值；
（3）如图2，过点作轴的平行线，交抛物线于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并求出面积最大时点的坐标.