【推荐1】综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图1，在矩形中，点E，F，G分别为边的中点，连接，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段和的位置和长度也随之变化．

   

（1）图2中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，请直接写出与之间的数量关系：_________．
（2）图3中，，求的值．
剪一剪，折一折：
（3）在（2）的条件下，连接图3中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得到（如图4）．点M，N分别在上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则的长为_________．

【推荐1】已知，四边形ABCD为的内接四边形，BD、AC相交于点E，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点C作于点F，交BD于点G，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当，时，求OH的长．

【推荐2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．

(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．

【推荐1】（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为       ；
③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为       ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．

【推荐2】如图，在中，弦于点，弦于点，直线与直线相交于点．连接．
（1）如图，求证：；
   
（2）若，的半径为6，直接写出弧的长度．
（3）在图中，按题目要求画出图形，并直接回答（1）中的结论是否正确．
   

【推荐3】如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．

(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)连接，交线段于点，求的最大值；
(3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．

求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．

【推荐2】问题提出：

（1）如图1，在正方形中，，点E在边上．将沿折叠，使点B落在点处，连接，则的最小值为         ；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，，E为的中点，于点F，连接，过点F作的垂线交边于点G．求证：；
问题解决：
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条互相垂直的小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点G），并沿修建地下水管，为了节约成本，要使得最小．已测出．，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．

【推荐3】综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．

【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．