【推荐3】（1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图①所示的位置，且，，判断和的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，在中，，将线段绕点C顺时针旋转（），得到线段，连接、．小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；

（3）在第（2）问的基础上，在图②中作的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系；并证明．

【推荐2】【模型建立】

   

（1）如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．
①，，之间的数量关系为________；
②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
（2）如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
（3）如图3在四边形中，，，，点，分别在四边形的边，的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，过点D作交BC的延长线于点F，AG平分∠DAE交DF于点G，交DC于点M．

(1)则∠CDF＝______；
(2)求证：DM＋CF＝AE；
(3)若AD＝12，CF＝5，求MG的长．

【推荐2】如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．
（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；
（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．

【推荐3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE=x．

（1）当x =1时，求△DEF的面积；
（2）如果点D关于EF的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC上时，求x的值；
（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．