【推荐1】在等腰中，，点和点分别为和边上的点，，与相交于点．

(1)当时，
①如图1，直接写出的度数；________．
②如图2，若，作，垂足为点，连接，求证：．
(2)当时，如图3，若取得最小值，求出的值．

【推荐3】【观察发现】
如图1，和都是等腰直角三角形，连接和，、相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成角的度数．请说明理由．
【深入探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，且，连接、，Q为中点，连接．试探究线段与的关系，并加以证明．

【推荐1】如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上．

（1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标；
（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；
（3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（–a，0）、点 B（0， b），且 a、b 满足a²+b²–4a–8b+20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB＝45°．

（1）a＝　　　　　 ；b＝　　　　　　　 ．
（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；
（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图,中, ,点在直线上,连接,以为斜边在右侧作等腰直角三角形,过点作,垂足为．
当点在上时,如图①,易证: (不需证明);
当点在的延长线上如图②和点在的延长线上时,如图③,线段有怎样的数量关系? 请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明．

【推荐1】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半径．

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．

(1)求证：①BC是⊙O的切线；
②CD²＝CE•CA；
(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．

【推荐3】如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接．
   
(1)求证：；
(2)求证：直线为的切线；
(3)若，求的长．

【推荐1】如图，是的直径，是上一点，过作的切线，交的延长线于点，过作，交延长线于点，连接，交于点，交于点，连接．
   
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．

【推荐2】如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如果的径为5，，求的长．

【推荐3】在中，，，点为上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，点为边中点，以为边在上方作等边三角形，连接，，求证；
(3)如图3，在（2）的条件下，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若，试猜想三条线段，，之间有何数量关系，并说明理由．