在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
①“双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形
中，点
、
分别在边
、
上，连接
，
，
，
，线段、于点O，若
，证明：四边形
为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，
，点
在线段
上，且
，在第一象限内，是否存在点
，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
①“双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形
中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”；(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
更新时间：2024-06-02 15:24:30
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=﹣
（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．
（1）n=________（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是________（用含m的代数式表示）；
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数解析式；
（3）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．
（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．（1）n=________（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是________（用含m的代数式表示）；
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数解析式；
（3）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．
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【推荐2】已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求直线BM的函数解析式．
（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．
（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求直线BM的函数解析式．
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：
，其中
．
；
，
；
随着
的增大而减小；
．
个单位得到抛物线
．
，求
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【推荐1】在等边
中，点D和点E分别在边、
上，以
为边向右作等边
，连接．
(1)如图1，当点D和点A重合时，求
的大小；
(2)如图2，点D是边AB的中点．
①求证：
；
②如图3，连接
当最小时，直接写出
的值．
中，点D和点E分别在边、上，以为边向右作等边，连接．(1)如图1，当点D和点A重合时，求
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【推荐2】综合与探究
问题情境：
如图，正方形ABCD的边长为12，点E在BC边上运动．
探究发现：
(1)如图1，当
时，连接AE，过点B作
于点G，交CD于点F，请直接写出线段BG和BF的长度；
(2)如图2，以BE为边作正方形BEFG，并把正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接AG和DF，发现DF与AG之间存在数量关系，请写出它们的数量关系并证明．
探究拓广：
(3)如图3，点E运动到与点C重合，连接AC，在AB上取点F，使
，以CF为边作正方形CFMN，连接AM，在图3中补全图形并直接写出AM的长．
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均为等边三角形，将
），连接
，
．
；
，当
的延长线经过点
时，请判断四边形
的形状，并说明理由；
，若
，在
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【推荐1】如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，
.
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝___，AC＝___，△ABC的面积
＝___.
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD＝x，AE＝m，CF＝n，（当点D与A重合时，我们认为
＝0）.
（1）用含x、m或n的代数式表示及
；
（2）求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围.
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.
.探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝___，AC＝___，△ABC的面积
＝___.拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD＝x，AE＝m，CF＝n，（当点D与A重合时，我们认为
＝0）.（1）用含x、m或n的代数式表示
及；（2）求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围.
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.
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【推荐2】已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．
（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．
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【推荐3】如图，在平面直角坐标系
中，
，
的半径为1．如果将线段绕原点
逆时针旋转
后的对应线段
所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C 的“关联线段”，其中满足题意的最小
就是线段与的“关联角”．
(1)如图1，如果
线段
是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______
．
(2)如图2，如果
、
、
、
、
、
．那么的“关联线段”有______（填序号，可多选）．
①线段
；②线段
；③线段
(3)如图3，如果
、
，线段
是的“关联线段”，那么
的取值范围是______．
(4)如图4，如果点
的横坐标为
，且存在以为端点，长度为
的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．
中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C 的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．(1)如图1，如果
线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______．(2)如图2，如果
、、、、、．那么的“关联线段”有______（填序号，可多选）．①线段
；②线段；③线段(3)如图3，如果
、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．(4)如图4，如果点
的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．
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【推荐1】综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形
中，点
在一条直线上，连接
（如图1）
操作发现
（1）图1中线段
和
的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形
都变为矩形，且
，
＝
，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若
矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值
问题情境
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和正方形中，点在一条直线上，连接（如图1）操作发现
（1）图1中线段
和的数量关系是 ，位置关系是 ．（2）在图1的基础上，将正方形
绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．类比探究
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和正方形都变为矩形，且，＝，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．拓展探索
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(0.4)
【推荐2】如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝
（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
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，连接
，
，点H在
，点E在线段
上，且
，将线段
绕点E逆时针旋转得到线段
，使得
，
于点F．
，
，求
．
