【推荐1】某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．
(1)设该单位要制作x份宣传材料，选择甲公司时，所需的费用为元，选择乙公司时，所需的费用为元，请直接写出关于x的函数关系式；
(2)该单位在哪家公司制作宣传材料所需费用少？请说明理由．

【推荐2】已知与成正比例，且时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点在该函数图象上，求点M的坐标．

【推荐3】已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若．

请回答下列问题：
(1)图1中______，______． ______．
(2)求图2中，的值；
(3)分别求出当点在线段和上运动时与的关系式．

【推荐1】如图，在中，，，，点P为直角边，边上一动点，现从点B出发，沿着的方向运动至点A处停止．点P在上的运动速度为每秒2个单位，在上的运动速度为每秒个单位，运动时间为x秒，的面积为y．

(1)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质：
(3)结合函数图象，当时，直接写出y的范围．

【推荐2】如图，在钝角中，点为上的一个动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交线段于点. 已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离ycm.

小牧根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，请补充完整:
(1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是            ；
(2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表:

		0.51	1.02	1.91	3.47	3	4.16	4.47
		3.97	3.22	2.42	1.66	a	2.02	2.50

通过测量。可以得到a的值为            ；
(3)在平而直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

(4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为        cm.

【推荐3】如图，在中，，．动点P，Q同时从点C出发，动点P以的速度沿向终点A匀速运动；动点Q以的速度沿向终点B匀速运动．连接，设点P的运动时间为，的面积为．

(1)当时，______．
(2)求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
(3)当直线把分成面积比为两部分时，直接写出此时t的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点，都在第一象限内，、的长分别为4和3．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，直线：与直线相交于点，点的横坐标为．

   

(1)求直线的解析式；
(2)在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，点是轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交、于点，当时，求点的坐标．

【推荐1】如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点．
（1）求取到的两点间的距离为2的概率；
（2）求取到的两点间的距离为的概率；
（3）求取到的两点间的距离为的概率．

【推荐2】小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．

(1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是           ．
(2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．
①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论．
②求的长（直接写出答案）．

【推荐3】如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．点P是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：

(1)直接写出的长为 ___________；
(2)请以为边，在图中画格点正方形；
(3)在图中边上画点Q，连接，使得四边形的面积为5．