【推荐1】如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC＝30°，∠PBA＝6°，且∠PAB＝∠PAC＝24°，求∠APC的度数．

【推荐2】在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒

(1)如图1，M、N分别是中点，当          s时，四边形是矩形．
(2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动．
①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值；
②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是          ．

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度数．

【推荐1】在中，，在△ABC的外部作，使得，点D是直线上的动点，过点D作直线的垂线，垂足为E，交直线于F．
（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长交点N，证明：；
（2）当点D在直线上运动时，和是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到延长线上某一点时的图形，并证明此时与的数量关系．

【推荐2】如图，是的直径，平分，交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．

   

(1)求证：是的切线；
(2)过点O作，交于点H，连接，若，，求的半径长．

【推荐3】（1）证明推断
如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．

①求证：；②推断：的值为______；
（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，过点E作AE，BD的垂线，分别交直线BC于点F，G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用
在（2）的条件下，连接CE，当，时，若，求EF的长．

【推荐1】如图，在中，，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P与点A、B、C不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边于点Q，以为底边，作等腰，使，点P运动的时间为t秒．

(1)直接写出的长．
(2)分别求出当和时，求线段的长．
(3)在整个运动过程中，过点D作于点H，用含t的代数式表示．
(4)当与重叠部分的图形为三角形时，直接写出t的取值范围．

【推荐2】如图平分平分和交于点为的中点，连结．

（1）找出图中所有的等腰三角形，并证明其中的一个；
（2）若，求的长．