【推荐1】【问题情境】：
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：
（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．
判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．

   

【推荐2】如图，已知AC是直径圆O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦，直线PB交直线AC于点D．

(1)求证：直线PB是圆O的切线；
(2)求证：BD•BP=DA•OA；
(3)若BD=4PA，求cos∠OPA的值．

【推荐3】如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，取的中点M，连接．

(1)求证：；
(2)问与有何数量关系？写出你的结论并证明；
(3)若点D在上运动，则四边形能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由．

【推荐1】在正方形中，点是边上任意一点．连接，过点作于．交于．

(1)如图1，过点作于，求证：；
(2)如图2，点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．

【推荐2】正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点．

(1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系；
(2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度．

【推荐3】如图，正方形的边在坐标轴上，点B的坐标为．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．过点Q作直线l平行于y轴．连接，过点P作交线l于D．与y轴交于点E，连接．设点P运动的时间为．其中．

(1)的度数为______，点D的坐标为______．（坐标用t表示）；
(2)在运动的过程中，始终满足怎样的等量关系？并说明理由．
(3)当t为何值时，为等腰三角形？直接写出t的值．

【推荐1】已知，，平分，．
   
(1)如图1，求证：
(2)如图2，与延长线相交于点，，求的度数