【推荐1】如图，点A、C、D在同一条直线上，，垂足为C，，点E在上，，连接，．

(1)求证；
(2)写出与的位置关系，并说明理由．

【推荐3】请先把下面三角形的中位线定理补充完整，再证明．
三角形的中位线______三角形的第三边，并且______第三边的一半．
已知：如图，在中，D、E分别是边的中点．
求证：，且．

【推荐1】如图，中，是边上的高，平分，交于点，过点作，垂足为，．
   
(1)求证：垂直平分；
(2)若，求的面积．

【推荐2】如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=5，AD=8，延长CA至点E，使得CA=AE，连接BE．

(1)证明△CBE为直角三角形．
(2)求平行四边形ABCD的面积．

【推荐3】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形的地毯上爬行，地毯上堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个等腰直角三角形，且，斜边上的高为，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
   
(1)如图1，______________，______________．
(2)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(3)在图②中，线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是____________________________．
(4)问题解决：在图②中，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．

【推荐1】如图1是我国古代的水车．如图2，其示意图是以轴心O为圆心，长为半径的圆．若被水面截得的弦的长为，求水车在水面以下的最大深度．

【推荐2】如图1是长方体模型，棱长如图所示，图2是它的一种表面展开图．

（1）①在图2中，表示出Cˈ可能的位置；
②在图3中画出长方体的一种展开图（不同于图2）；
（2）图1中，一只在顶点A的蚂蚁，要吃到Cˈ处的甜食，求它沿长方体表面爬行的最短距离；
（3） 在满足AB+BC+BBˈ=9的条件下，当AB为何值时，蚂蚁从A沿长方体表面爬行到Cˈ距离最短，并写出其中的一种方案．

【推荐3】如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．

(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；
(2)若四边形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的长．