【推荐1】已知：如图所示，为的边上的中线，且于点F，交的延长线于点，求证：．

【推荐2】如图，在中，是边上一点，是边的中点，过点作，交的延长线于点．
   
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．

【推荐3】如图所示，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F．

(1)求证：；
(2)当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论．

【推荐1】已知：如图为的直径，弦、相交于点P，

(1)证明图中的相似三角形；
(2)若，，，求的长．

【推荐2】如图，是的直径，是上一点，的平分线交于，交于，连接，．

(1)求证：：
(2)若，，求的值．

【推荐3】如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．
   
(1)连接，求的度数；
(2)若，求的长．

【推荐1】已知：O上两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD交于点E. 

(1)如图1，求证：EA⋅EC=EB⋅ED；
(2)如图2,若ABˆ=BCˆ，AD是O的直径，求证：AD⋅AC=2BD⋅BC；
(3) 如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长.

【推荐2】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

猜想 如图，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想： ，且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

【定理证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】
（1）如图②，在四边形中，，，点P、M、N分别是、、的中点，连接、、．若，则的大小为________；
（2）如图③，在中，点D在上，且，点M、N分别是、的中点，连接并延长，交延长线于点E，则与的数量关系为________．

【推荐3】如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC能否成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．