如图1，四边形
是正方形，
是
边上的一个动点（点与
不重合），以
为一边在正方形外作正方形
，连接
，
．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：
）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____
类比探究：
（
）将图中的正方形绕着点
按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度
，得到如图，如图
情形，请你判断（）
中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；
拓展应用：
（）已知
，
，在正方形绕点旋转的过程中，当点
在同一条直线上时，
的长度是多少？请直接写出答案
是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：
）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____类比探究：
（
）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；拓展应用：
（
）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案
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更新时间：2024-06-15 09:31:43
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(0.4)
【推荐1】如图①，
和
是有公共顶点的等腰直角三角形，
，点P为射线
的交点．
(1)如图②，将绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接
、
，求证：
且
．
(2)若
，把绕点A旋转，
①当
时，求
的长；
②旋转过程中线段
长的最小值是_______．
和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点．(1)如图②，将
绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接、，求证：且．(2)若
，把绕点A旋转，①当
时，求的长；②旋转过程中线段
长的最小值是_______．
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【推荐2】如图，正方形ABCD中，
，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC=DE，记∠CDE为a (0°<a<90°)，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．
(1)求∠DEA的大小(用的代数式表示)；
(2)求证：△AEF为等腰直角三角形；
(3)当
时，求点E到CD的距离．
，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC=DE，记∠CDE为a (0°<a<90°)，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．(1)求∠DEA的大小(用
的代数式表示)；(2)求证：△AEF为等腰直角三角形；
(3)当
时，求点E到CD的距离．
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作
，交直线
；
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名校
【推荐1】如图1，已知
ABCD，∠A＝∠BEF＝a，E为AD边上一点，F为DC边上一点，BE＝EF．
(1)求证：∠ABE＝∠DEF
(2)如图1，若a＝45°，AE＝5， DE＝1， 求ABCD的面积；
(3)如图2，若a＝30°，AE＝4，DE＝2
．求线段BE的长．
ABCD，∠A＝∠BEF＝a，E为AD边上一点，F为DC边上一点，BE＝EF．(1)求证：∠ABE＝∠DEF
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【推荐2】问题探究
（1）请在图1中过点A画一条直线，将分成面积相等的两部分；
（2）如图2，在
中，
，
，点E在
的延长线上，且
，过点E作直线l分别交边，
于点M，N．若直线l将的面积平分，则请求出
的长度；
问题解决
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形，如图3所示．在四边形中，
，实际长度
公里，
公里，
公里，
公里，点P在上且
公里，根据用地需求，需在
上确定点E，将五边形
作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形总面积的一半，并在上确定点F，在
中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区，为方便游客游览，要求修建
、
、
三条观光道路的总长度最小．请问这样的是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）请在图1中过点A画一条直线，将
分成面积相等的两部分；（2）如图2，在
中，，，点E在的延长线上，且，过点E作直线l分别交边，于点M，N．若直线l将的面积平分，则请求出的长度；问题解决
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形
，如图3所示．在四边形中，，实际长度公里，公里，公里，公里，点P在上且公里，根据用地需求，需在上确定点E，将五边形作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形总面积的一半，并在上确定点F，在中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区，为方便游客游览，要求修建、、三条观光道路的总长度最小．请问这样的是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及周长的最小值；若不存在，请说明理由．
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【推荐1】如图，在
ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E．过点E作EF∥AB，交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：BF是⊙A的切线；
（2）填空：
①当四边形ADFE是周长为20的菱形时，BF＝ ；
②当
＝ 时，四边形ACBF是正方形．
ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC的长为半径作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E．过点E作EF∥AB，交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：BF是⊙A的切线；
（2）填空：
①当四边形ADFE是周长为20的菱形时，BF＝ ；
②当
＝ 时，四边形ACBF是正方形．
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【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图．
（1）如果点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1），画出点C，D的一个“确定正方形”，这个正方形的面积是 ；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点M为直线y＝x＋b（b＞0）上一动点，当点O，M的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为1时，求b的值．
（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．
（1）如果点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1），画出点C，D的一个“确定正方形”，这个正方形的面积是 ；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点M为直线y＝x＋b（b＞0）上一动点，当点O，M的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为1时，求b的值．
（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．
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，拼成一个大方形纸片
，求正方形
，并延长交
，求
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(0.4)
【推荐1】如图，正方形的边长为
点
，
分别在边，上，且
，
的延长线交
的延长线于点，
的延长线交
的延长线于点
，连接
，，
．
______ 
；
填
或
或
(2)设
，
①
的面积
有变化吗？如果变化，请求出与
的函数关系式；如果不变化，请求出定值；
②请直接写出使
是等腰三角形的值．
的边长为点，分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，．
______ ；填或或(2)设
，①
的面积有变化吗？如果变化，请求出与的函数关系式；如果不变化，请求出定值；②请直接写出使
是等腰三角形的值．
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【推荐2】如图，已知正方形的边长为
，点是射线上一点(点不与点
、重合)，过点
作
，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点
、
．
(1)当点在边上时，如果
，求
的余切值；
(2)当点在边延长线上时，设线段
，
，求
关于
的函数解析式，并写出函数定义域；
(3)当
时，求
的面积．
的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．(1)当点
在边上时，如果，求的余切值；(2)当点
在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；(3)当
时，求的面积．
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．求证：
．
绕
的周长是否随
的度数．
