【推荐1】在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与轴的另一个交点为，点在抛物线上，直线交轴于点，过点作轴交抛物线于点．
①若的面积是面积的倍，求点的坐标；
②连接交直线于点，当点在抛物线对称轴右侧图象上，且在直线的上方时，记，，的面积分别为，，，若，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点．

(1)如图1，点是的中点，，如果，求的长；
(2)已知，
①如图2，连接，求证：平分；
②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值．

【推荐1】定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

   

(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；
(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．

【推荐3】我们不妨约定：对于某一自变量为的函数，若当时，其函数值也为，则称点为此函数的“不动点”．如：反比例函数有两个“不动点”，坐标分别为和．
(1)一次函数的“不动点”坐标为______；
(2)若抛物线：上只有一个“不动点”．
①求抛物线的解析式和这个“不动点”的坐标；
②在平面直角坐标系中，将抛物线平移后，得到抛物线：，抛物线与轴交于点，连接，．若抛物线的顶点落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围．