【推荐1】在等腰直角三角形中，，，直线过点且与平行．点在直线上（不与点重合），作射线．将射线绕点顺时针旋转，与直线交于点．
（）如图，若点在的延长线上，请直接写出线段、之间的数量关系．
（）依题意补全图，并证明此时（）中的结论仍然成立．
（）若，，请直接写出的长．

【推荐2】如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一动点，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．

（1）试求∠EDG的度数；
（2）如图2，若E为BC的中点，正方形ABCD边长为8，求线段AG的长；
（3）当DE＝DG时，令CE＝a，则BE＝　　．（用含a的代数式表示）

【推荐3】平面直角坐标系中，直线与x轴分别交于点B，A；
（1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式________；
（2）如图1，直线BC与直线y=x交于E点，点P为y轴上一点，PE=PB，求P点坐标；
（3）如图2，点P为y轴上一点，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标．

【推荐1】已知中，，，，CD为AB边上中线，E是CB边上的一个动点．
Ⅰ求CD的长；
Ⅱ如图1，连接AE，交CD于点F，当AE平分时，求CE，CF的长；
Ⅲ如图2，连接DE，将沿DE翻折至，连接BG，直接写出和间的数量关系．

【推荐2】已知，在中，.点为边延长线上一动点，过点作于点并交于点，连接.点是的中点．连接
（1）如图1，小华研究发现和有特定的数量关系，请你认真研究．当时，求出．

（2）在（1）小题的结论下，如图2，在点的运动过程中，当时．式子的值不变．猜想这个值并证明你猜想的结论．

（3）在（1）小题的结论下，如图3，过点作交于点.在的延长线上取点.使得，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，请直接写出的值．

【推荐3】在中，（），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
   
(1)如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，，
①求证；
②求出的度数．
(3)如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明．

【推荐1】“鹿鸣·博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠）这一课题研究．已知矩形，点、分别是、边上的动点．
   
(1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．点恰好是的中点．
①若，求的长度；
②若与的交点为，连接，试说明．
(2)若，，如图②，且，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为_________．
   
(3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点，以为直径作圆，该圆与交于点和点，将沿翻折，若点的对应点刚好落在边上，求此时的长度．
   

【推荐2】综合与探究：
将直角三角板和直角三角板按如图1所示的方式放置，两个顶点重合于点O，且，，，平分，平分．将三角板绕，点O逆时针旋转一周的过程中（旋转中和均是指小于的角），探究的度数．

(1)当三角板绕点O旋转至如图2的位置时，与重合，则_________，_________．
(2)当三角板绕点O旋转至如图3的位置时，此时B，O，D三点在同一直线上，求的度数．
(3)三角板绕点O旋转过程中，的度数还有其他可能吗？若有，请直接写出的度数；若没有，请说明理由．
(4)类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）

【推荐1】如图，将线段绕点A逆时针旋转α到，点D是平面内一点，连接，，，，且．
   
(1)如图1，当时，直接写出，，之间的数量关系；
(2)如图2，当时，探究是否为定值，并说明理由；
(3)当，，时，请直接写出的长．