【推荐1】如图1，AM为△ABC的BC边的中线，点P为AM上一点，连接PB．
（1）若P为线段AM的中点．
①设△ABP的面积为S₁，△ABC的面积为S，求的值；
②已知AB＝5，AC＝3，设AP＝x，求x的取值范围．
（2）如图2，若AC＝BP，求证：∠BPM＝∠CAM．

【推荐3】小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．

【问题思考】
（1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）；
（2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）；
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：
∵，
∴_________（由问题2的结论得）
∴_________，
即_________，
∵是的中点，
∴_________（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积．

【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．