【推荐1】已知，在半圆中，直径，点、在半圆上运动，（点、可以与A、两点重合），弦．
   
(1)如图1，当时，求证；
(2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
(3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到的距离的最大值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．

【推荐2】如图，⊙O的半径为2，直线CD经过圆心O，交⊙O于C，D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN．
（1）当点M在⊙O内部时，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部时，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；
（3）当点M在⊙O外部时，如图三，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．

【推荐1】我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：
（1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图1，在等腰中，，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点．

(1)若，，求的长；
(2)如图2，点恰好是的中点，连接，求证：．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝a（x﹣）（x+）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线DE是抛物线的对称轴，点D在x轴上，点E在抛物线上，直线y＝kx+过点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交对称轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段QD的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，直线AC与对称轴交于点F，点M在对称轴ED上，连接AM、AE，∠AMD＝2∠EAM，过点A作AG⊥AM交过点D平行于AE的直线于点G，点N是线段BP延长线上一点，连接AN、MN、NF，若四边形NMGA与四边形NFDA的面积相等，且FN∥AM，求点P的坐标．
   

【推荐2】问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图①中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图②所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点，则四边形的形状为__________．

   

深入探究：老师将图②中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
（1）“巧思小组”提出问题：如图③，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明；
（2）“聪慧小组”提出问题：如图④，当时，过点作于点，若，，则__________．

【推荐3】嘉琪在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉琪猜想：在中，，设，有．
（1）当时，验证是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．