【推荐2】对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的内垂点．在平面直角坐标系中，已知点．

(1)在点中，是线段的内垂点的________；
(2)已知点．在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的内垂点；
(3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿y轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的内垂点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，若为直线上一点

(1)直接写出______，______，______．
(2)①求与满足的数量关系为______．
②若的面积大于面积的，求的取值范围
(3)若，的面积为．若关于的不等式有4个正整数解，直接写出的取值范围

【推荐1】（1）如图1，点是的外接圆的圆心，过点作圆的切线，点是直线上异于点的任意一点，连接、，则______．（请填写＞、＜或＝）
（2）如图2，已知射线、，，点、在射线上，点是射线上一动点，，，当最大时，请求出此时的长．
（3）小军同学有幸参加2022年冬奥会项目的颁奖仪式，听到义勇军进行曲全场响起，看到五星红旗冉冉升起，民族自豪感油然而生．如图3，小军所在的位置始终可以看到国旗，小军站的位置恰与五星红旗在同一平面内．已知：国旗的长为2.4米，宽为1.6米，小军的眼睛到地面的距离为1.7米，小军与国旗的水平距离为4米，在国旗从距离地面一定高度处上升的过程中，是否存在最大值？若存在，求出此时的值及国旗的高度；若不存在，请说明理由（已知：、、三点共线，、、三点共线，、、三点共线，结果保留根号）

【推荐3】如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值．

【推荐1】如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C₁：y＝x²＋x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．（点A在点B的左侧）
（1）则m＝　 　，n＝　 　．
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，抛物线C₂：y＝ax²＋bx＋4经过A′、B′两点，延长OB′交抛物线C₂于点C，连接A′C．设△OA′C的外接圆为⊙M．
①求圆心M的坐标；
②试直接写出△OA′C的外接圆⊙M与抛物线C₂的交点坐标（A′、C除外）．

【推荐3】如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其顶点为，且直线的解析式为．
(1) 求二次函数的解析式．
(2) 求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；
(3) 若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值．

【推荐1】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=8，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

【推荐2】如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．

【推荐3】已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）若，求四边形的面积．