【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线DE交AC于E．

(1)求证：DE⊥AC；
(2)若AB＝10，，求DE的长；
(3)在（2）的条件下，若P为线段BD上一动点，过P点作BC的垂线交AB于N，交CA的延长线于M，求证：PN＋PM是定值，并求出定值是多少？

【推荐2】如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，直线与的延长线交于点P，弦平分，交于点F，连接，．
   
(1)求证：平分；
(2)求的半径；
(3)若B是的中点，求阴影部分的面积．

【推荐3】如图1、图2，在圆O中，，，将弦AB与弧AB所围成的弓形包括边界的阴影部分绕点B顺时针旋转度，点A的对应点是．
点O到线段AB的距离是______；______；点O落在阴影部分包括边界时，的取值范围是______；
如图3，线段B与优弧ACB的交点是D，当时，说明点D在AO的延长线上；
当直线与圆O相切时，求的值并求此时点运动路径的长度．

【推荐1】实践与探究：
（1）操作一：如图1所示，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点E，连接，直接写出与的数量关系为___________；
（2）操作二：如图所示，摆放矩形纸片与矩形纸片，使B、C、G三点在一条直线上，在边上，连接，M为的中点，连接．求证：；
（3）操作三：如图3所示，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点F在边上，连接，M为的中点，连接．已知正方形纸片的边长为5，正方形纸片的边长为，直接写出的长．

【推荐2】永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑，位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一个塔进行了测量．测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为m，塔的顶端为点A，且，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，在的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得m．
(1)方法1，已知标杆m，求该塔的高度；
(2)方法2，测量得，已知，求该塔的高度；
(3)假如该塔的高度在方法1和方法2测得的结果之间，你认为该塔的高度大约是多少米？
　　　　　

【推荐3】如图，在等腰中，，过点C作交于点D，
   
(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径作（保留痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，
①求证：是的切线；
②若的半径为，问线段上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与相似?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知，点O在线段AB上，AB=6，OC为射线，且∠BOC=45°．动P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t 秒.
(1)如图，若AO=2．
① 当 t =6秒时，则OP =       ，       ；
② 当△ABP与△PBO相似时，求t的值；

(2) 如图，若点O为线段AB的中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．.

【推荐2】如图，内接于，，的延长线交于点．

(1)求证：平分；
(2)若，，求和的长．

【推荐3】如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，．

(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．