【推荐1】如图①，，点P在线段上以的速度由点B向点D运动，同时，点Q在线段上由点A向点B运动，设点Q的运动速度为的，它们运动的时间为．

(1)__________________cm（用含x，t的代数式表示）
(2)在图①中，若，当时，与是否全等，请说明理由，并求出此时的度数．
(3)如图②，将图①中的“”改为“”，其他条件不变，是否存在实数x，使得与全等，若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题．

【问题情境】

（1）如图1，在正方形中，分别是边上的点，于点．判断线段的数量关系并证明．

【尝试应用】

（2）如图2，在正方形网格中，点为格点，交于点．求的值；

【拓展提升】

（3）如图3，点是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接，分别交线段于点．

①求的度数；

②连接，交于点，直接写出的值．

【推荐3】（1）已知线段a、以此为边，用尺规作图（保留作图痕迹，不需写作法）作出一个含有60°的菱形；
（2）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，连接AM、AN，若∠ABC=∠MAN=60°，求证：BM=CN；
          

【推荐1】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.
(1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB.
   

【推荐2】在中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接．

(1)如图1，当D是边的中点时，___________．
(2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________．
(3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么的面积是多少？

【推荐3】教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容。

3．角平分线 回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴：如图，是的平分线，P是上任一点，作，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点P是上的任意一点，，垂足分别为点D和点E， 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请写出完整的证明过程：

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：
（1）如图②，在中，，平分交于点．若，，求的长；
（2）如图③，在中，，平分交于点，点在上，点在上．若，，则的最小值为______．