【推荐1】如图，，平分，交于点．

   

(1)动手操作：作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹），交于点，交于点，连接；
(2)探究求证：四边形是菱形；
(3)应用练习：若，，则菱形的面积为_________．

【推荐2】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．

【推荐3】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

   

阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．

   

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接．
∵M是的中点，
∴．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长．

【推荐1】如图，已知的面积为16，．现将沿直线BC向右平移a个单位到的位置．

(1)连接AD，四边形ABFD的面积为32时，求a的值；
(2)连接AE、AD，当，时，试判断的形状，并说明理由．

【推荐2】已知：关于的方程．
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)若方程有两个实数根，且，求值．
(3)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．

【推荐3】已知，平分交于，于，，连结，判断的形状，并说明理由．