【推荐1】如图，四边形为矩形，为对角线，，，点是的中点，、两点同时从点出发，点沿射线向右运动；点沿线段先向左运动至点后，再向右运动到点停止，点随之停止运动．、两点运动的速度均为每秒1个单位．以为一边向上作正方形．设点的运动时间为（秒），正方形与重叠部分的面积为．

（1）当点在线段上时，求出的值．
（2）求出与之间的函数关系式，并直接写出取值范围（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）
（3）在点、点运动的同时，有一点以每秒1个单位的速度从向运动，当为何值时，是等腰三角形．请直接写出的值或取值范围．

【推荐2】如图，将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上(点不与，重合)，点落在点处，与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）当点落在的中点时，求点的坐标；
（3）当点在边上移动时，设，求点的坐标(用表示)．

【推荐3】矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．运动时间设为秒．

（1）若点、均以的速度移动，则：_______；_______．（用含的代数式表示）
（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
（3）若点、均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？

【推荐1】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，直接写出的关系（无需证明）；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①_______；
②b与c的关系为_______，a与d的关系为_______．

【推荐2】 已知抛物线y=x²+bx+c经过点A（-2，0），B（0，-4）与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，BP交x轴于点E，且S_△PBO=S_△PBC，求证：E是OC的中点；
（3）在（2）的条件下求点P的坐标．
（4）在（2）的条件下拋物线上是否存在点D，使△ACD的面积与△ABP的面积相等？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．