【推荐1】如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
   
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB=，BC=1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长．
②试判断△PCE的形状，并说明理由．

【推荐2】如图，在中，，，D为的中点，连接．

(1)请用尺规作图法，作的垂直平分线交于点P；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接、，求证：为等边三角形．

【推荐3】如图，已知中，．按如下要求完成尺规作图：

①以点A为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交于点M、N，再以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，过点A，G作射线交边于点D；
②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于P，Q，过点P，Q作直线交于点O；
③以点O为圆心，的长为半径画圆，交边于点E．
(1)依据图中的作图痕迹，求证：是的切线；
(2)若，求的半径．

【推荐1】如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

【推荐2】已知．（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线AE；
②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．

【推荐3】下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点P．

求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，

①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；
②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BP，
∵　 　＝　 　＝　 　＝AP，
∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上．
∴∠APQ＝90°（　 　）．（填写推理的依据）
即PQ⊥l．