【推荐1】如图，已知正方形，点E、F分别是边、的中点，连接、相交于点O，连接并延长交于P，解决下列问题：
   
(1)求证：．
(2)如果点G、H分别是、的中点，连接，若，求的长度．

【推荐2】AB是⊙O的直径，弦CE平分∠ACB交⊙O于点E．交AB于点D．连接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝2．
（1）求四边形ACBE的面积；
（2）求CE的长．

【推荐3】如图，矩形ABCD 中， AD  8 ， AB  6 ，将矩形ABCD绕点 D 顺时针旋转得 到矩形 EFGD ，边 BC 与 DE 交于点 P ，延长 BC 交 FG 于点Q ，若 BQ  2BP ，求 BP 的长．

【推荐1】如图，已知是的外接圆，AB是的直径，点E是的中点，连接AE，BE，AE与BC交于点D，在AB的延长线上有一点F，连接EF，若．

(1)求证：EF是的切线；
(2)若的半径为9，，求BD的长．

【推荐2】如图，以为直径的半圆O经过斜边的两个端点，交直角边于点E，B、E是半圆弧的三等分点．请你仅用无刻度的直尺：
(1)请在图①中画出一条的平行线；
      
(2)请在图②中画出一条直线平分面积．
      

【推荐3】如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）当，时，求线段的长．

【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DG⊥AC，垂足为点G，连接DE，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，，求BE的长．

【推荐2】如图1，在中，，，以为直径的与相交于点．过点的切线与相交于点．

(1)求和的度数；
(2)如图2，过点作于点，过点作于点，交于点和．若，求的长．

【推荐3】如图，已知是的圆内接三角形，为的直径，为的切线，交⊙O于点F，．
   
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．

【推荐1】如图，在△ABC中，∠C = 90°，，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．

【推荐2】已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，     
BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=
AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，，的代数式表示）．