【推荐1】如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．

证明：不论、在、上如何滑动，总有；
当点、在、上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【推荐3】综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证．

(1)独立思考：请解答王老师提出的问题．
(2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．”

(3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答．
“如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．”

【推荐2】已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

【推荐3】如图，等边ABC，边长为4，点P是边AB上一动点(不与A，B重合)，过点A，P，C三点作圆，交边BC于点D，作∠PCQ＝60°，交圆于点Q，连接DQ交AC于点E．
(1)连接PQ，求证：PCQ是等边三角形；
(2)求证：DQ//AB；
(3)连接AQ，设BP＝x，APQ的面积为y，当x为何值时，y的值最大；
(4)取BP中点F，连接PE，FE，当∠PEF的值最大时，直接写出BP的值．

【推荐1】如图1，为正方形内一点，点在边上（不与端点，重合），垂直平分交于点，连接．过点作交射线于点．
   
(1)求的大小；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，若，求的值．

【推荐2】设△ABC，点P是平面内的任意一点（A、B、C三点除外），若点P与点A、B、C中任意两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点．
（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，试说明点P是△ABC的一个勾股点．
（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，则CP＝　 　；
（3）如图3，四边形ABDC中，DB＝DA，∠BCD＝45°，AC＝，CD＝3．则点D能否是△ABC的勾股点，若能，求出BC的长：若不能，请说明理由．

【推荐3】如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，过点作交边或边于点，点是射线上的一点，且，以、为邻边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为（秒）．

(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在上时，求的值．
(3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．
(4)若重心为，矩形中心为，当点与点到直线距离相同时，请直接写出的值．

【推荐1】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式．

【推荐3】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．

(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的时，求DQ的长；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．