阅读下列材料：问题：如图1，在菱形
和菱形
中，
，点A，B，E在同一条直线上，P是线段
的中点，连接
，
，探究与的位置关系．
(1)请你写出上面问题中线段与的位置关系，并说明理由；
(2)将图1中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的对角线
恰好与菱形的边
在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，
(3)将菱形和菱形均改成正方形，如图3，P为的中点，此时与的位置关系和数量关系分别是什么？直接写出答案．
和菱形中，，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接，，探究与的位置关系．(1)请你写出上面问题中线段
与的位置关系，并说明理由；(2)将图1中的菱形
绕点B顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，(3)将菱形
和菱形均改成正方形，如图3，P为的中点，此时与的位置关系和数量关系分别是什么？直接写出答案．
更新时间：2018-05-07 23:37:40
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【推荐1】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．
（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的是哪个三角形，∠ACQ的度数．
（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；
（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
（1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的是哪个三角形，∠ACQ的度数．
（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；
（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
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【推荐2】如图，在边长为
的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且D为AG中点，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿看A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间t秒，连接BM并延长交AG于N点．
（1）当t为何值时，△ABM为等腰三角形？
（2）当点N在AD边上时，若DN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，请直接写出S的最大值．
的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且D为AG中点，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿看A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间t秒，连接BM并延长交AG于N点．（1）当t为何值时，△ABM为等腰三角形？
（2）当点N在AD边上时，若DN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，请直接写出S的最大值．
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(0.4)
名校
【推荐3】如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．
(1)如图1，求a，b的值；
(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，若P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
(1)如图1，求a，b的值；
(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，若P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
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(0.4)
【推荐1】如图，在
中，
，
，
，点
从点
出发沿方向以
秒的速度向点
匀速运动，同时点
从点出发沿
方向以
秒的速度向点
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是
秒（
）.过点作
于点
，连接，
.
（1）四边形
能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（2）当为何值时，
为直角三角形？请说明理由.
中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是秒（）.过点作于点，连接，.（1）四边形
能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；（2）当
为何值时，为直角三角形？请说明理由.
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(0.4)
【推荐2】（1）如图1，在矩形中，对角线
与
相交于点
，过点作直线
，且交
于点，交于点，连接
，且
平分
.
①求证：四边形
是菱形；
②直接写出
的度数；
（2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，
分别在
边上，且
，连接
为
的中点，连接
，并延长交
于点
，连接
.试探究线段
与之间满足的关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形进行特殊化探究，如图3，矩形满足
时，点是对角线上一点，连接
，作
，垂足为点，交于点，连接，交于点
.请直接写出线段
三者之间满足的数量关系.
中，对角线与相交于点，过点作直线，且交于点，交于点，连接，且平分.①求证：四边形
是菱形；②直接写出
的度数；（2）把（1）中菱形
进行分离研究，如图2，分别在边上，且，连接为的中点，连接，并延长交于点，连接.试探究线段与之间满足的关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形
进行特殊化探究，如图3，矩形满足时，点是对角线上一点，连接，作，垂足为点，交于点，连接，交于点.请直接写出线段三者之间满足的数量关系.
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【推荐3】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点
，
，如果点
满足
，
，那么称点M是点A、B的“双减点”．
例如：
，
、当点
满足
，
，则称点
是点A、B的“双减点”．
(1)写出点
，
的“双减点”C的坐标；
(2)点
，点
，点是点E、F的“双减点”．求y与x之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，y与x之间的函数图象与y轴、x轴分别交于点A、C两点，B点坐标为
，若点E在平面直角坐标系内，在直线AC上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
，，如果点满足，，那么称点M是点A、B的“双减点”．例如：
，、当点满足，，则称点是点A、B的“双减点”．(1)写出点
，的“双减点”C的坐标；(2)点
，点，点是点E、F的“双减点”．求y与x之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，y与x之间的函数图象与y轴、x轴分别交于点A、C两点，B点坐标为
，若点E在平面直角坐标系内，在直线AC上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
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(0.4)
【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线
经过点
．点在
轴上，其纵坐标为
，作点关于点的对称点为点，以点为对称中心，以长为边长作正方形
，且
轴．
(1)求该抛物线对应的函数关系式．
(2)当点在点的上方，且正方形的顶点在抛物线上时，求的长．
(3)当正方形的某一条边与抛物线有两个交点时，设这两个交点的横坐标分别为
、
．若
，求的值．
(4)当抛物线在正方形内部的图像对应的函数值先随
值的增大面减小、后随值的增大而增大时，若该抛物线与正方形交点的线坐标之差为2．直接写出的值．
经过点．点在轴上，其纵坐标为，作点关于点的对称点为点，以点为对称中心，以长为边长作正方形，且轴．(1)求该抛物线对应的函数关系式．
(2)当点
在点的上方，且正方形的顶点在抛物线上时，求的长．(3)当正方形
的某一条边与抛物线有两个交点时，设这两个交点的横坐标分别为、．若，求的值．(4)当抛物线在正方形
内部的图像对应的函数值先随值的增大面减小、后随值的增大而增大时，若该抛物线与正方形交点的线坐标之差为2．直接写出的值．
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(0.4)
【推荐2】给定一个函数，如果函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做给定函数的不动点．
(1)求一次函数
的不动点坐标；
(2)如图1，二次函数
的两个不动点分别为P、Q（点P在点Q的左侧），将点P绕点Q逆时针旋转
得到点R，求点R的坐标；
(3)如图2，二次函数
的两个不动点的坐标分别为
，
．
①求a，b的值；
②若C为一次函数
的不动点，以线段为边向下作正方形
，当D，E两点中只有一个点在二次函数的图象上时，直接写出m的值．
(1)求一次函数
的不动点坐标；(2)如图1，二次函数
的两个不动点分别为P、Q（点P在点Q的左侧），将点P绕点Q逆时针旋转得到点R，求点R的坐标；(3)如图2，二次函数
的两个不动点的坐标分别为，．①求a，b的值；
②若C为一次函数
的不动点，以线段为边向下作正方形，当D，E两点中只有一个点在二次函数的图象上时，直接写出m的值．
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与
，连接
交直线
轴于点
，连接
．
；
，用含
___________；
在直线
，以线段
（点
以逆时针方向排序），点
在平面内，当四边形
为菱形时，连接
，请直接写出
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【推荐1】【问题背景】
“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图（1），纸片
为矩形，且
，
，点E，F分别为边
，
的中点，沿
将纸片剪成两部分，将纸片
沿纸片
的对角线
方向向上平移．
①当纸片平移至点
与的中点O重合时，两个纸片重叠部分
的面积与原矩形纸片的面积之比是______．
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是
时，则平移距离
为______．
【类比探究】
（2）如图（2），当纸片
为菱形，
，
时，将纸片沿其对角线
剪开，将纸片
沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分
的面积与纸片的面积之比为
时，求平移距离
（用含a的式子表示）．
【拓展延伸】
（3）某小组将图（2）剪下来的
与图（1）中的四边形按图（3）的方式放在同一平面内，使点L与点B重合，
与
重合．将从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转
，旋转过程中，边
与边
相交于点T，边与边相交于点S，连接
．请直接写出旋转过程中
，
，
之间的数量关系．
“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图（1），纸片
为矩形，且，，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．①当纸片
平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______．②当两个纸片重叠部分
的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______．【类比探究】
（2）如图（2），当纸片
为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）．【拓展延伸】
（3）某小组将图（2）剪下来的
与图（1）中的四边形按图（3）的方式放在同一平面内，使点L与点B重合，与重合．将从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转，旋转过程中，边与边相交于点T，边与边相交于点S，连接．请直接写出旋转过程中，，之间的数量关系．
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(0.4)
【推荐2】在“融学课堂”的实践中，李老师经常让学生以“问题”为中心进行自主合作探究学习．
【课堂提问】李老师在课堂上提出这样的问题：如图1，在
中，
，
，那么和有怎样的数量关系?
【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言．
（1）小华代表第3 小组发言：
．请你补全下面小华的证明过程．
证明：如图1，把
沿着翻折，得到
，
，
，
即点 B，C，D 共线．
………
（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图 2，在中，如果把条件“”改为“
”保持“”不变，且
，求 的长．
【能力迁移】我们发现，利用翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面的问题．
（3）如图 3，点 D 是内一点，
，
，
，求、
、三者之间的数量关系．
【课后拓展】
（4）如图4，在四边形中，
，
，
，且
，请求出
的周长．
【课堂提问】李老师在课堂上提出这样的问题：如图1，在
中，，，那么和有怎样的数量关系?【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言．
（1）小华代表第3 小组发言：
．请你补全下面小华的证明过程．证明：如图1，把
沿着翻折，得到，，，即点 B，C，D 共线．
………
（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图 2，在
中，如果把条件“”改为“”保持“”不变，且，求 的长．【能力迁移】我们发现，利用翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面的问题．
（3）如图 3，点 D 是
内一点，，，，求、、三者之间的数量关系．【课后拓展】
（4）如图4，在四边形
中，，，，且，请求出的周长．
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垂直线段
是直线
绕点
，线段
绕点
，连结
，
．
．
的长．
