【推荐1】如图，在矩形中，作于点E，于点F，连接BE、DF．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若矩形的宽与长之比，求证：E、F是对角线AC的三等分点．
（3）若四边形与矩形的面积之比为，请直接写出矩形的宽与长之比．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N
（1）如图1，当点F为BE的中点时，求证：AM=CE；
（2）如图2，若==n（n≥3）时，请直接写出的值；
（3）若矩形ABCD（AB＞BC）对角线AC交MN于T，H为边BC上一点，∠CMH=45°且=（如图3）．若CF平分∠ACB，请直接写出的值．

【推荐3】如图，在等腰中，， ，是直角三角形，，，连接，，点是的中点，连接．
   
(1)如图①，当，点在边上时，线段与线段的数量关系是______；
(2)如图②，当，点不在边上时．（1）中线段与线段的数量关系是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
(3)如图③，当为任意角度时，直接写出线段与线段的数量关系（用含的式子表示）．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线为与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．

(1)点A坐标是      ，点B的坐标是       ．的长是        ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由．

【推荐1】【揭示关系】如图1，在中，，，，则，．即．因此，对于含角的直角三角形的三边关系，可以作为问题解决的条件直接使用．

【问题解决】
(1)如图2，在中，，，点C在边上，点D在边上，，点E，F分别为、的中点．则        ，                    ．
(2)将绕点O逆时针旋转后，得到，点C，D的对应点分别为点，，连接，，得到图3．若点M是的中点，连接．
①求证：；
②线段和之间存在怎样的数量关系和位置关系？写出你的结论，并进行证明．

【推荐2】如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F₁：的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)
(1)求点A、B的坐标；
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F₂：经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F₂的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
(3)如图2，延长OB'交抛物线F₂于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点是抛物线上的一个动点，连接和．

(1)求a的值和的度数；
(2)当点运动到抛物线顶点时，求与的面积之比；
(3)如图2，当点在抛物线上运动，且满足时，求点的坐标．