【推荐1】如图，△ABC是直角边长为1cm的等腰直角三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列各问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．

【推荐3】定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”

（1）判断下列两个命题是真命题还是假命器（填“真”或“假”）
①等边三角形必存在“和谐分割线”
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．
命题①是_______命题，命题②是______命题；
（2）如图2，．，，，试探索是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度：若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

(1)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(2)当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．

【推荐3】（）解方程：．
（）如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为．求证：四边形为正方形．
   

【推荐1】如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，交半圆于点，连接，．

（1）求证：是的角平分线；
（2）若，，求的长；
（3）若，试判断以，，，为顶点的四边形的形状为______．

【推荐2】如图，矩形ABCD中，延长BA到F，使，连接CF和DF，CF交AD于点E．

(1)求证：四边形ACDF是平行四边形．
(2)当CF平分时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【推荐3】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103－104页的部分内容．
如图24.2.1，画，并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你一定会发现，恰好是的一半．
接下来，请你用演绎推理证明这一猜想．
【定理证明】请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
已知：如图①，在中，是斜边上的中线，求证： ．

【定理应用】
（1）如图②，在中，，垂足为点D（点D在上），是边上的中线，垂直平分．求证：；
（2）在（1）条件下，若于点F，连接．当是等边三角形，且时，求的周长．