【推荐1】如图，三角形ABC的三个顶点坐标为：A(1，4)，B(﹣3，3)，C(2，﹣1)，三角形ABC内有一点P(m，n)经过平移后的对应点为P₁(m＋3，n－2)，将三角形ABC做同样平移得到三角形A₁B₁C₁．

（1）在图中画出三角形A₁B₁C_1， 并写出A₁、B₁、C₁三点的坐标；
（2）求三角形A₁B₁C₁的面积．
（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．

【推荐2】已知：直线y＝x+12与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．

(1)OC的长度为______；
(2)点 E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则点F的坐标为______；
(3)取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，存在以 C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为______．

【推荐3】如图，在四边形ABCD中，的平分线交CD于点E，
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）当E是CD中点，AD=3时，求四边形ABCD的周长；

【推荐1】已知矩形，

(1)请用尺规在图上作菱形，使得点在边上，点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)证明你的结论．

【推荐2】如图，在矩形的边上取一点，连接，使得，在边上取一点，使得，连接．过点作于．
   
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，是上四点，．

(1)填空：判断的形状，则　 　三角形：
(2)连接，当点位于什么位置时，四边形是菱形？并说明理由；
(3)若，求的长．

【推荐1】定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“半矩形”，把两个非直角顶点的连线段叫做这个“半矩形”的直径．

(1)如图1，已知、是的直径，，点P是上的一点，连接、、、、、、．图中的四边形　 　“半矩形”；（选填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知是“半矩形”的直径，点O是的中点，交于点E．若，求的值；
(3)如图3，线段是“半矩形”的直径，，，分别延长、到点D、E，使，，连接、、、，若，求四边形的面积．

【推荐2】如图所示的红丝带是全世界关心艾滋病患者行动的标志，它将宽的红丝带交叉成角重叠在一起．求重叠部分四边形的面积．

【推荐3】根据项目素材，探索解决问题．

项目主题	如何剪出直角三角形的完美线？
项目背景	新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”．在学习完特殊的平行四边形后，某校组织了该次项目式学习．
项目素材	在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．
问题解决
项目一 操作	如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数．
项目二 探究	如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
项目三 拓展	在中，，，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．