【推荐1】如图，在中，，，点，分别在，上，D为的中点，，求证：．

【推荐2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．

【推荐3】已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ∠MAN=45°，连结MC，NC，MN．

（1）填空：与△ABM相似的三角形是△       ，BM·DN=        ；（用含a的代数式表示）
（2）求∠MCN的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的数量关系并证明你的结论．

【推荐1】如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且弧AN＝弧BN，BM平分∠ABD，MC⊥BD于点C．

（1）求证：MC是⊙O的切线.
（2）若BC＝2，MC＝4，求⊙O的直径.
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的周长．

【推荐2】已知，如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线在第一象限内交于点C，．
   
(1)求；
(2)求k的值；
(3)D是双曲线上一点，垂直x轴于E，若以O、D、E为顶点的三角形与相似，试求点D的坐标．

【推荐3】如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，．

(1)试判断直线PC与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求MN的长．