【推荐1】如图1，为等边三角形，在AB、AC上分别取点E、D，使，连接DE．

(1)求证：是等边三角形．
(2)点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，当绕A点旋转到如图2的位置时，求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，，，求AN的长．

【推荐2】已知：M是AB的中点，MC=MD，∠1=∠2，若AC=8 cm，求BD的长度．

【推荐3】（）发现：如图1，点为线段外一动点，且，，且填空：当点位于________时，线段的长取得最小值，且最小值为________（用含，的式子表示）．
（）应用：点为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边，作等边三解形和等边三角形，连接，．求线段长的最小值．
（）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且， ，，请直接写出线段长的最小值及此时点的坐标．

【推荐1】（1）如图1，在中，，，，D为边上一点，．求证：平分．
   
（2）如图2，矩形中，，，点E是边上一点，，连接，请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
   

【推荐2】问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
   
问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有．
故．因此，当共线时，有最小值是．
学以致用：
(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．
(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．

【推荐3】如图，在中，，，.现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动.如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为，求：

   
(1)当秒时，求、两点之间的距离，并计算此时的面积
(2)当为多少秒时，？

【推荐1】某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF　 　GH；（填“＞”“=”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证： =；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7．5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

【推荐2】如图1，正方形边长为10，为边上一点，点与点关于直线对称，直线与交于点，连接，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的度数；
（3）如图2，若点为中点，求的长．

【推荐3】如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，
（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量和位置关系并证明.
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由.
（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系.

【推荐1】如图，是正方形的对角线，平分交于点E，点M在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的值．

【推荐2】已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：AB·BC=AC·CD．

【推荐3】如图，在中，点在上，，，，，交于点，求的长．