【推荐1】如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转得到线段，连接．
   
(1)求证：；
(2)连接并延长交直线于点D，若．
①试猜想和的数量关系，并证明；
②若，求的长．

【推荐2】如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．

(1)如图1，连接PD，若∠PDC＝60°，AD＝4，求tan∠APB的值；
(2)如图2，点F在DC上，连接AF．作∠APB的平分线PE交AF于点E，连接DE、CE，若∠APB＝60°，PA十PC＝PE．求证：DE平分∠ADF；
(3)如图3，在（2）的条件下，点Q为AP的中点，点M为平面内一动点，且AQ＝MQ，连接PM，以PM为边长作等边△PMM'，若BP＝2，直接写出B M'的最小值．

【推荐2】如图1，已知直线垂直线段于点，点是直线上异于点的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，，，与直线交于点，．

(1)如图2（点在点上方时），过点作直线的垂线，垂足为．
①求证：．
②求的长．
(2)在点的运动过程中，点，，三点中，是否存在其中一点恰是另外两点为端点的线段的中点，若存在，求出相应的长，若不存在，说明相应理由．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，．
问题发现
奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．
如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……．

问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．
问题1：如图1，按照如上操作
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，的长为______；
②如图3，当直线时，求的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．
问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积．