【推荐1】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子表示∠APB的度数．
（3）如图3，C是函数 图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

【推荐2】如图，点O为矩形ABCD对角线交点，，，点E、F、G分别从D，C，B三点同时出发，沿矩形的边DC、CB、BA匀速运动，点E的运动速度为，点F的运动速度为，点G的运动速度为，当点F到达点点F与点B重合时，三个点随之停止运动在运动过程中，关于直线EF的对称图形是设点E、F、G运动的时间为单位：
当______s时，四边形为正方形；
若以点E、C、F为顶点的三角形与以点F、B、G为顶点的三角形相似，求t的值；
是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知梯形，，与交于点，过点作分别交、于点、．

（1）如图，求证：；
（2）如图，若，，求的长；
（3）如图，连接、交于点，过点作分别交、于点、，求证：．

【推荐1】已知抛物线（）交轴于和，交轴于．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标；
(3)若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．

【推荐3】如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．

   

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值；
(3)若轴交于点E，若，求点E的坐标．

【推荐1】如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若时，，求的直径的长．

【推荐3】[发现]
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数　 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝　 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？

[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
[应用]
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为　 　．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝　 °，∠BPA＝　 °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为　 ．