【推荐1】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tan∠A=，点D是射线AB上的一动点，联结DC，过点C作DC⊥CE，垂足为C，联结DE使得∠CDE=∠A，联结BE；设AD=x，△BDE面积为y．
（1）如图1，求证：△ACD∽△BCE；
（2）当D在AB延长线上时，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）在点D的运动过程中，记射线EB与射线CD交于点P，若△EDP是等腰三角形，直接写出x的值．

【推荐2】在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧），点是射线上一个动点（不与点重合），点在线段上，且．
   
(1)如图1，当点与点重合时，在图中画出线段，若，则的长为______（用含的式子表示）；
(2)如图2，当点与点不重合时，连接．
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【推荐3】直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，
(1)求△ABC的面积；
(2)在x轴上是否存在一点M，使得△MAB是等腰三角形？若存在，请直接写出M的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如果在第二象限内有一点P，当△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值．

【推荐1】如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点重合），作交边于点，连结．

(1)如图1，当点与点重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，，，点在线段上运动，当四边形是菱形时，，求菱形的面积；
(3)如图3，，在延长线上（可以与点重合）存在一点，使得四边形为矩形，求的度数范围．

【推荐2】【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；

【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．

【推荐3】如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．
（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；
（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；
①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；
②若EB＝1，求CF的长．

【推荐1】【问题解决】
（1）如图1，四边形是正方形，点E在边上，以为边在其右侧作正方形，连接，求证：．
【问题拓广】
（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上一动点，以为边在其右侧作矩形，且，连接．
①写出线段与的数量关系，并证明你的结论；
②连接，则的最小值为_______．（直接写答案）

【推荐3】【探索发现】
如图1，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______．
【拓展应用】
如图2，在中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值用含a、h的代数式表示；
【灵活应用】
如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，直接写出该矩形的面积．