【推荐1】完成下面的证明：
已知：如图，，CD平分，EF平分．
求证：．

证明：∵，
∴___________（                                     ）．
∵CD平分，EF平分，
∴∠1=__________，∠2=_________．
∴∠___________=∠_____________．
∴（___________________________）．

【推荐2】如图，是的角平分线，，交于点．

(1)求证：；
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．

【推荐3】如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于D点．若，，求长．
   

【推荐1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）若△AME∽△ENB，求AP的长．

【推荐2】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F为AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）试探究△ABM与△EDN是否相似，并说明理由．
（2）如果F是AM的中点且AB＝12，BM＝5，求CN的长．

【推荐3】如图所示，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的垂直平分线交于点，交于点，连接、，求证：的周长；
如图所示，在中，若，，的垂直平分线交于点，交于点．的垂直平分线交于点，交于点，连接、，试判断的形状，并证明你的结论．
如图所示，在中，若，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接、，若，，求的长．
               

【推荐1】如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若DF=3，cosA=，求⊙O的直径．

【推荐2】如图，点P是外一点，切于点A，是的直径，连接，过点B作交于点C，连接AC交于点D．

(1)求证：是的切线；
(2)若， ，点E是的中点，连接，求的长．

【推荐3】如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐1】如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．

(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．

【推荐2】如图，为的直径，切于点与的延长线交于点交延长线于点，连接．
   
求证：是的切线．
若，求的长．

【推荐3】如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.