【推荐1】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分交⊙O于点D，过点D作BC的垂线，垂足为E．

(1)求证：DE与⊙O相切．
(2)证明：．

【推荐2】如图所示，在中，，AD平分交BC于D，于E，求证的周长等于AB的长

【推荐3】如图：

(1)在中，在边上找一点P，使点P到边、边的距离相等．（要求：用尺规作图）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．

【推荐1】如图，和都是等腰直角三角形，．

（1）如图1，点D在内部，点E在外部，连结，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）如图2，点D，E都在外部，连结、、、，其中与相交于H点．
①若，求四边形的面积；
②若，，设，，求y与x之间的函数关系式．

【推荐2】如图中，，在BC上取一点D使，连结AD，作的外接圆，交AB于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求AC的长．

【推荐3】已知△ABC的三边长为a，b，c，且
（1）求证：；
（2）当三角形的面积与正方形的面积相等时，求正方形的周长．

【推荐1】综合与实践
实践操作：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，因此，正方形是四边相等，四角相等的四边形．
某校初二社会实践班开展了一次课外活动，具体过程如下：如图①，正方形中，，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与点重合．三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点．

解决问题：
（1）线段与线段的关系是_________；
（2）如图②，小明在图1的基础上作的平分线交于点，连接，他发现和的数量关系是_________，请予以证明；

拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，若，则的长为_________．

【推荐2】如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．
（1）若BD=BF，求AE的长；
（2）若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．

【推荐3】如图，正方形中，连接，点E是延长线上一点，且，连接，
   
(1)尺规作图：在线段上求作一点F，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断的形状，并说明理由．