【推荐1】如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，已知，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，点C坐标为，过点B作轴与点D．

(1)求证：；
(2)求的长并直接写出点B的坐标；
(3)连接，在平面直角坐标系中是否存在点E使得以点为顶点的三角形与全等？若存在直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动. 设动点的运动时间为秒．

   

(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值                     ，并在图上画图标出点的位置，

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，点O为原点，．

(1)直接写出m的值；
(2)动点由点出发沿向点运动，同时点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，当点到达点时，两点运动同时停止，连接交轴于点，作轴于点，求的长；
(3)在（2）的条件下，以为底边，在上方作等腰直角，若的面积等于8，求点M的坐标．

【推荐2】如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标，是绕点O顺时针旋转90°得到，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F．

(1)求直线BD的解析式
(2)求的面积
(3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】这是一道我们曾经探究过的问题：如图1．等腰直角三角形中，，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得≌．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“K形图”.接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型应用】
（1）如图2．已知直线l₁：与与坐标轴交于点A、B．以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，若存在，请求出C的坐标；不存在，若说明理由.

（2）如图3已知直线l₁：与坐标轴交于点A、B．将直线l₁绕点A逆时针旋转45°至直线l₂．直线l₂在x轴上方的图像上是否存在一点Q，使得△QAB是以QA为底的等腰直角三角形？若存在，请求出直线BQ的函数关系式；若不存在，说明理由.
【拓展延伸】
（3）直线AB：与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点.分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图4,△EPB的面积是否确定？若确定，请求出具体的值；若不确定，请说明理由.

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，弦，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE．

(1)若，求的度数．
(2)求证：AF平分．
(3)若，，且CF经过圆心O，求CE的长．

【推荐2】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为___________；
(2)如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，则的值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】
(4)如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且，求的值．

【推荐1】已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点．

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的面积；
(3)求证：．

【推荐2】如图1和2，在正方形中，点、在经过点的直线上，为等腰直角三角形，，且点始终在的内部，连结．

（1）当直线绕点旋转到如图1所示的位置时，求证：①；②；③；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，探究：（1）中的①、②、③三个结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出正确的结论（不必证明）；
（3）在直线绕点旋转过程中，若正方形的边长为，，求的长．