【推荐1】阅读下面材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，中，，点D在边上，过点B作交延长线于点E，当时，图1中是否存在与相等的线段？若存在，请找出并说明理由，若不存在，说明理由．该同学通过探究发现，过点A作的垂线，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将问题解决．

   

请回答：
(1)该同学发现的与相等的线段是      ；
(2)证明该同学所发现的结论；
(3)参考该同学思考问题的方法，解决下面的问题：如图3，在中，，，点D在上，点E是外一点，且，，点F是中点，G在上，连接、．，求的值．

【推荐2】如图所示，在中，，，、分别是、边的中点.将绕点顺时针旋转角，得到（如图所示）.

（1）探究与的数量关系，并给予证明；
（2）当时，试求旋转角的度数.

【推荐3】如图，是等腰直角三角形，，，是斜边上上任一点，于，交的延长线于，于点，交于．
   
(1)求证：；
(2)请问与、之间有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)求证：．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为2，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在该反比例函数的图象上．

(1)求的值；
(2)作轴，为垂足，直接写出四边形的面积．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，A（4，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC是△OAB的AB边上的高．
（1）求出点C的横坐标；
（2）图2中，作点C关于y轴的对称点D，连结DA、DC分别交OB于点E、F，求线段OE的长；
（3）图3中，在OC上取点M，连结BM，以BM为边向右作等边△BMN，连结AN，CN，求证：OA⊥AN，并直接写出CN的最小值．

【推荐3】已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB=6，∠BAD=120°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求菱形ABCD的面积．
   

【推荐1】如图，ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．

(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD=2，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．

【推荐2】已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

【推荐3】已知点A、D在直线l的同侧．
（1）如图1，在直线l上找一点C．使得线段AC+DC最小（请通过画图指出点C的位置）；
（2）如图2，在直线l上取两点B、E，恰好能使△ABC和△DCE均为等边三角形．M、N分别是线段AC、BC上的动点，连结DN交AC于点G，连结EM交CD于点F．
①当点M、N分别是AC、BC的中点时，判断线段EM与DN的数量关系，并说明理由；
②如图3，若点M、N分别从点A和B开始沿AC和BC以相同的速度向点C匀速运动，当M、N与点C重合时运动停止，判断在运动过程中线段GF与直线1的位置关系，并说明理由．