【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG的长．

【推荐2】如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长．

【推荐3】如图，在中，，，，等腰直角中，，且点D是边BC上一点．
（1）求AC的长．
（2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离．

（3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值．

【推荐1】在中，，点E在射线上运动．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接．

（1）如图1，点E在点B的左侧运动．
①当，时，则_________；
②猜想线段与之间的数量关系为_____________________________．
（2）如图2，点E在线段上运动时，第（1）问中线段与之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．
（3）点E在射线上运动，，设，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．

【推荐2】如图，在正方形中，P是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点E，连接．

(1)当点P在线段上时，如图①，求证：；
(2)当点P在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【推荐3】如图，抛物线（）交直线：于点，点两点，且过点，连接，.
   
（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）点是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交于点.设点的横坐标为，试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC－CB运动，在边AC上以每秒3个单位的速度运动，在边CB上以每秒4个单位的速度向终点B运动．当点P与△ABC的顶点不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边AB于点Q，以PQ为底边作等腰三角形PQD，使．设点P的运动时间为t（s）.

(1)直接写出PQ的长（用含t的代数式表示）
(2)用含t的代数式表示点D到边PQ的距离．
(3)当△ABC的一条直角边平分△PQD的腰时，求t的值．
(4)当点D落在∠ACB的平分线上时，直接写出t的值．

【推荐2】如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边沿直线折叠，使点落在边上的点处．
的大小            （度）；
若，用含的代数式表示．则                
在的条件下，已知折痕的长为，求点的坐标．

【推荐3】（1）【操作判断】
如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则与的数量关系为 ；
（2）【迁移探究】
如图2，在矩形中，，点分别在边上，且与交于点O，试说明（1）中的结论是否发生变化，如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，，当点D为的三等分点，且时，直接写出与的数量关系．