【问题情境】学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【直接运用】如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.
【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.
【直接运用】如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.
【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.
更新时间：2019-10-17 08:01:15
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】正方形
，点
在边
上，连
．
(1)如图，连
，若
，
，
，求
的周长；
(2)如图，点
在对角线
上，满足
，过点作
交
于
，点
在线段
上（不与端点重合），连接
．若
，求证：
；
(3)如图，在（1）的条件下，是
中点，点是直线上的一动点，连
，将
沿着翻折得到
，连
交于
，连
、
，当
的值最小时，请直接写出
的面积．
，点在边上，连．(1)如图，连
，若，，，求的周长； (2)如图，点
在对角线上，满足，过点作交于，点在线段上（不与端点重合），连接．若，求证：； (3)如图，在（1）的条件下，
是中点，点是直线上的一动点，连，将沿着翻折得到，连交于，连、，当的值最小时，请直接写出的面积．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
真题
名校
【推荐2】（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，
上，
于点
，点，分别在边，上，
．
①求证：
；
②推断：
的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，
（
为常数）．将矩形沿
折叠，使点
落在边上的点处，得到四边形
，
交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接
，当
时，若
，
，求的长．
中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．①求证：
；②推断：
的值为 ；（2）类比探究：如图（2），在矩形
中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接
，当时，若，，求的长．
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中，
，
，点
在线段
时，连接
，求
的面积；
，过点
作
于点
交
的延长线于点
；
，将
沿直线
，连接
取得最小值时，请直接写出
的值．
解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】在
中，
是的中点，以为腰向外作等腰直角
，即
，连接
，交于点，连接
．
如图1，若
，求
的度数．
在的条件下，写出
与
三条线段之间的等量关系，并说明理由．
若
是钝角时，交
延长线于，连接如图2所示：
①探究图2中
的形状，并说明理由．
②若
，求
的面积．
中，是的中点，以为腰向外作等腰直角，即 ，连接，交于点，连接．如图1，若，求的度数． 在的条件下，写出与三条线段之间的等量关系，并说明理由．若是钝角时，交延长线于，连接如图2所示： ①探究图2中
的形状，并说明理由．②若
，求的面积．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】如图1，
为等腰三角形，
，
，延长
至点D，线段、线段的垂直平分线交于点E．
(1)请用含
的式子表示出
．
(2)如图2，若
，
，点M、N分别为线段
中点，连接
，求证：
．
(3)如图3，在（2）的条件下，若
，将直线AC沿着直线
翻折得到直线
，点Q是直线上一动点，连接
，请直接写出
的最大值．
为等腰三角形，，，延长至点D，线段、线段的垂直平分线交于点E．(1)请用含
的式子表示出．(2)如图2，若
，，点M、N分别为线段中点，连接，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，若
，将直线AC沿着直线翻折得到直线，点Q是直线上一动点，连接，请直接写出的最大值．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
真题
解题方法
【推荐3】已知：如图，在四边形和
中，
，
，点
在
上，
，
，
，延长
交于点
，点
从点出发，沿方向匀速运动，速度为
；同时，点从点出发，沿
方向匀速运动，速度为
，过点作
于点，交于点．设运动时间为
．
解答下列问题：
（1）当
为何值时，点在线段
的垂直平分线上？
（2）连接
，作
于点
，当四边形
为矩形时，求的值；
（3）连接
，
，设四边形
的面积为
，求
与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在
的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．解答下列问题：
（1）当
为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）连接
，作于点，当四边形为矩形时，求的值；（3）连接
，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；（4）点
在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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